极限的定义与性质

一、极限的正式定义

先亮出结论，然后尝试理解。

数列的极限使用如下式子表示的。 $\lim_{n\to \infin} a_n=A$ 那么这背后的精确定义是： $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n\ [n>N \to \|a_n-A\| < \epsilon]$ 函数的极限是用如下式子表示的。 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 这背后的精确定义是： $\forall \epsilon >0 \ \exist \delta>0 \ \forall x\ [0<\|x-a\| < \delta \to\|f(x)-L\|<\epsilon]$ 在尝试理解”为什么“之前，可以先去思考一下这些定义背后的美妙之处。真的很优美。

我们之所以需要这样的定义，就是因为原先极限是一个”动态逼近“的过程，而现在我们使用的精确表述方法是静态的，完全抛开了动态过程所具有的模糊性。

第一种解释

凭什么说这些复杂的命题就是指的一个数列或者函数的极限呢？数列的还比较好理解，那么我们重点解释一下函数。从直观上理解，当x趋近于a时，f(x)的值趋近于L。显然，”趋近“并不是一个很精确的词汇。函数值到底能够多趋近于L呢？这个距离小于任何一个给定的数$\epsilon$。也就是说，在\|x-a\|足够小的时候，\|f(x)-L\|也足够小。为了代替这两个非常小的数（想让它们有多小就有多小），我们设置了两个上限：$\delta$和$\epsilon$。

那么，我们的命题可以改成：$当|x-a|<\delta时，|f(x)-L|<\epsilon$。

因为没有规定δ和ε的范围，所以可以稍微转变一下说法，从而就是极限的精确定义：

“对于任何>0，都有>0，从而使得当 0<|x−a|<时|f(x)−L|<”

（部分借用了极限（正式定义） (shuxuele.com)，讲解很好）

因为后面要利用性质解题和完成一些证明，所以这里再铺垫一下这个定义的延申。

函数值到底能够多趋近于L呢？这个距离小于任何一个给定的数$\epsilon$。

也就是说，总存在x=a附近的一段区间，让f(x)到L的距离足够小，小于任何一个给定的数ε。

换一种说法，如果某函数值到某点的距离可以小于任何一个给定的数，那么该点就是对应的极限。这个性质在后面马上就要用，所以你不用现在就着急去理解它。

第二种解释

如果你认为第一种解释已经让你满意，那么其实你并不需要继续看下面的第二种解释！还不如自己花一些时间去进一步思考极限精确定义的含义。如果你没有理解前面的内容，Adrian Banner的这段解释可能会让你更深刻地体会到极限的精确定义的内涵，但对于了解”知其所以然“帮助不大。

（以下摘自《普林斯顿微积分读本》原文）也是写的非常通俗易懂的好文章！

极限的正式定义

我们从函数f和实数a开始

直观上, 上述方程意味着, 当 x 接近于 a 时, f ( x ) 的值就会极度接近 L

但有多近呢？想多近就有多近.

要了解这意味着什么，让我们来做个小游戏.

小游戏

以下就是游戏规则：

你需要在 y 轴上选择一个以 L 为中点的区间并在其中移动, 画平行于 x 轴且通过区间端点的线. 如图 A-1 所示.

注意, 我用 L - ε 和 L + ε 标记了该区间的端点, 故两个端点到 L 的距离都是 ε .

不管怎样, 关键是不允许该函数的任意部分落在那两条水平线之外.

那么, 我的移动就是通过限制定义域来舍弃该函数的某些部分.

我只需要①确保新的定义域是一个以 a 为中心的区间, 且②该函数的每一点都位于你的两条线之间, 可能 x=a 时除外.

图 A-2 是我的移动, 这基于你刚才的移动. 我可以舍弃更多的函数部分,这当然没有问题, 只要剩余部分在那两条线之间就行了.

现在, 该你移动了. 你已然意识到, 当你的那两条线彼此接近时, 我的任务就更艰难了.

因此, 这一次你选取了一个更小的 ε 值.

图 A-3 是你第二次移动之后的情况

曲线上有一部分又落在两条水平线之外了（右上部分很明显）, 可我还没移动呢. 我要舍弃更多的远离 x = a 的函数部分, 如图 A-4 所示. 因此, 我又能够对抗你的移动了.

游戏何时结束呢？

希望答案是游戏绝不停止!

不管你让那两条线多么接近, 只要我总是可以移动; 这实际上就是说

是成立的.

我们不断缩小区间：你让那两条线不断接近, 我的回应是只关注函数足够接近 x = a 的部分.

另一方面, 如果某次我的移动被卡住了, 那么

就不再成立了.

极限或许是其他的值, 或者不存在, 但它一定不是 L .

真正的定义

我们需要将这个游戏转变为更多的符号. 首先注意你选择的区间是 ( L - ε , L + ε ).

事实上, 你也可以将这个区间看作是满足 | y - L | < ε 的点 y 的集合.

为什么呢？

因为 | y - L | 就是在数轴 (如 y 轴) 上 y 和 L 之间的距离.

因此, 你的区间是由所有距离 L 小于 ε 的点组成的. 正如你猜测的, 能够将 | y - L | < ε 这样的不等式与其等价形式 L - ε < y < L + ε 相互转换, 对于你来说是极其有帮助的.

现在轮到我移动了. 我需要保证该函数落在你的区间里. 这意味着, 在我舍弃大部分定义域之后, 所有保留下来的 f ( x ) 的值都必须距离 L 小于 ε .

因此, 在我移动之后, 你将得出结论| f ( x ) - L | < ε ( x 充分接近于 a 且 x ≠ a ).

为了让我的移动更精确, 除了那个以 a 为中心的区间, 剩下的一切我都要舍弃.

我的区间看起来像是对某个其他数 δ 成立的 ( a - δ , a + δ ) , 因此, 我也可以把它看作是使得 | x - a | < δ 成立的 x 的集合.

事实上, 由于我不想让 x 等于 a , 所以可以写成 0 < | x - a | < δ .

总的来说, 你的移动是由选取 ε > 0 构成的.(它最好是正的, 否则根本不存在移动区间!) 而我的移动是选取一个数 δ > 0, 使得

这意味着只要 x 距离 a ( x ≠ a ) 不超过 δ , f ( x ) 的值距离 L 就不会超过 ε .

这就确定了基本思想：

当 x 接近 a 时, f ( x ) 接近 L . 现在, 剩下的就是允许你来选择 ε , 你想要多小就多小, 而我仍然需要相应地选取 δ . 以下就是我们要找的正式定义：

重要的是, 在你移动之后我才能开始移动!

δ 的选取依赖于 ε 的选取. 通常我不能选择一个普遍的 δ 来保证对每一个 ε > 0 结论都成立. 我必然受限于你的选择.

怎么样？如果还是有点晕的话，就可以看一看下面的例子来动动脑：

例子

怎么证明$\lim_{x\to3}x^2=9$？

难道这不是很显然的吗？但是你不能够靠直觉解题。记住，我们目前只能从极限的定义出发——就是刚才的抽象逻辑命题——来尝试证明这个极限。

首先，对于任意的ε，都要找到一个存在的δ，使得在区间[3-δ，3+δ]内定义的函数值域落在[9-ε，9+ε]范围内。如果这两个变量δ和ε存在函数关系，则证明刚才的命题也就会变得容易许多。不过我们要先试一个特殊值来限定两个变量的范围。令ε=8，此时只要取δ=1就能满足要求。如果ε更大，我们仍然取δ=1就行！

接下来考虑ε<8的情况。我设δ是ε的一个比较小的常数倍，比如说，令$\delta=\epsilon/8$。我们的目标是，证明在a附近（距离不超过δ）这段范围有$|x^2-9|<\epsilon$成立。

为了便于缩放，把绝对值里的式子因式分解，观察到有$x^2-9=(x-3)(x+3)$。而x-3的上限恰好是δ，这里写成ε/8。而x的上限是什么呢？显然是3+ε/8，而ε<8，所以x<4，x+3<7。这一堆分析当然非常罗嗦，但是，写在一起看，就会发现$(x-3)(x+3)<(\frac{\epsilon}{8})(4+3)=\frac{7\epsilon}{8}$，即$x^2<9+\frac{7\epsilon}{8}$，那么上限小于9+ε，符合极限的定义！再快速地检查下限。显然x的下限是$3-\frac{\epsilon}{8}$，那么代入后缩放（这个任务交给你去完成！）得$x^2>9-\frac{5\epsilon}{8}$，同样符合极限的定义。

所以，证明完成。总体的逻辑是，对于多么小的ε，我都能照葫芦画瓢把它除以8来得到δ，而刚才已经证明了这样得到的δ是完全符合极限的定义的。我们只会见到这种题一次，这里纯粹是为了展示如果仅仅使用极限的定义去解题会是多么的费劲！那么，用一些已知极限去产生新极限，则会变得十分重要。这里就是极限的四则运算派上用场的地方！

二、极限的四则运算

下面是公式变多的地方。需要你更多的动脑子了！

先声明一下讨论这些证明的前提：里面提到的每个极限都必须存在。

“存在”指的，极限L和M是不能是正无穷或者负无穷。

极限的和与差及证明

假设我们已经知道，$\lim_{x\to a}f(x)=L$和$\lim_{x\to a}g(x)=M$。

我们的目标是，证明$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)=L+M$。

没有其他工具，那就只能从定义方面考虑了。我们知道，f(x)到L的距离和g(x)到M的距离可以小于任何一个给定的数。那么，如果我们证明了f(x)+g(x)到L+M的距离也小于任何一个给定的数，则就相当于证明了刚刚的命题！

相应地，减法法则的本质和加法法则没有区别。只需要稍微替换一下不等式，就能够照样得到答案，我希望这个工作也是由你来完成！

极限的乘积及证明

证明$\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\times\lim_{x\to a}g(x)=LM$。

比加法稍微复杂一些。但是核心思想不变：现在我们想要证明$|f(x)g(x)-LM|$小于任意一个给定的数。

在加法法则的证明中，我们采用的技巧是绝对值不等式。这里我们要在绝对值不等式的基础上，再加上一个不同的技巧，那就是减去Lg(x)再加上它。至于为什么这样做，看到下面的过程就能明白了： $f(x)g(x)-LM=f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM$

\[\|f(x)g(x)-LM\|=\|(f(x)-L)g(x)+L(g(x)-M)\|\leq\|f(x)-L\|\cdot\|g(x)\|+\|L\|\cdot\|g(x)-M\|\]

我只是把步骤写的详细了一些而已，没有什么复杂的。

现在，该缩放了！显然我们可以把f(x)-L与g(x)-M都用ε代替，然后想一想如何代替g(x)。既然g(x)到M的距离小于任何一个指定的数，那么肯定有g(x)<M+1成立。代入进去，得到$|f(x)g(x)-LM|<(|L|+|M|+1)\epsilon$。既然ε前面的系数是一个常数，这个命题就已经等同于小于任意一个指定的数了。证毕。

极限的商及证明

证明$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}=\frac{L}{M}$。前提当然是g(x)的极限不能为零，否则没有意义！

比证明乘法法则稍微难一些，但是方法是相似的。此时，我们观察并缩放$|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}|$的值。

正确的解决方案就是，把式子通分，然后在分子上减去并加上LM，因式分解！这样得到 $\|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\|=\|\frac{f(x)-L}{g(x)}-\frac{L(g(x)-M)}{Mg(x)}\|\leq\|\frac{f(x)-L}{g(x)}\|+\|\frac{L(g(x)-M)}{Mg(x)}\|$ 只是看上去复杂一些而已。

但是难点也就出现在这里：如何替换掉g(x)的值，而且最好使用常数！和乘法不一样的是，我们这次要使用g(x)的下限来进行缩放。并不能使用$|g(x)|>|M|-1$，因为M的绝对值不一定大于一，这样缩放之后没有任何意义。如果M=1，这个求极限的过程就出错了。因此，我们采用一种革新的办法：变量缩放。使用$|g(x)|>\frac{|M|}{2}$。想一想它的成立确实是很显然的，而且避免了把M与其他数进行比较，不会产生意外的错误。

那么，$\large|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}|<\epsilon\cdot\frac{2}{|M|}+\epsilon\cdot\frac{2|L|}{|M|^2}$，这正是我们想要的——ε有常数因子！证毕！

三明治定理（夹逼定理）

有些东西就非常适合从定义看，比如三明治定理。

对于充分接近a的x，有g(x)≤f(x)≤h(x)。我们也知道，g(x)和h(x)在x=a处有相同的极限L。

求证：$\lim_{x\to a}f(x)=L$。

首先，对于任意的数ε，都有$L-\epsilon \leq g(x)\leq L+\epsilon$和$L-\epsilon \leq h(x)\leq L+\epsilon$。

那么，$f(x)\leq h(x)\leq L+\epsilon$；

而且，$f(x)\geq g(x) \geq L-\epsilon$；

所以，$|f(x)-L|<\epsilon$在x靠近a时成立。

这不就是极限的定义吗？

于是就有$\lim_{x\to a}f(x)=L$。

三、极限的其他情形

刚刚我们在讨论的时候排除了极限是正无穷或者负无穷的情况。再仔细观察最开始的极限定义，发现并没有关于“无穷极限”和“在自变量趋于无穷的时候的极限”的定义。事实上，这一节就是用来补充这些特殊的极限的！

放心，这一部分的内容有了“极限的精确定义”做铺垫，理解起来会十分轻松。

无穷极限的定义

当函数值趋于正无穷的时候，我们之前做的定义就不在管用了。

但是理解先前定义的本质有助于我们推导出新的定义！

原先：f(x)到L的距离可以无穷小→f(x)到L的距离可以小于任何一个给定的数

现在：f(x)的值可以无穷大→f(x)在x靠近a的时候，值可以大于任何一个给定的数

这就是$\lim_{x\to a}f(x)=+\infin$的定义了！用严谨的数学语言表述，就是 $\forall M>0, \exist\delta>0\left[\forall 0<\|x-a\|<\delta \rarr f(x)>M\right]$ 趋于负无穷的话也同样简单，只需要把f(x)>M改成f(x)<-M即可。

例子

证明$\large lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infin$。

对于任意的M，我们都可以选择$\delta < \sqrt{M}$，使得$x^2<\frac{1}{M}$。

证完！

左极限与右极限

只是在原来的基础上做修正。

把$0<|x-a| < \delta$改成$0<a-x < \delta$或$0<x-a<\delta$就可以得到相应的左极限和右极限。

在正无穷与负无穷处的极限

想到了数列极限没有？

因为理解难度很低，这里就不过多做出解释了，直接展示标准定义：$\lim_{x\to +\infin}=L$的含义是， $\forall \epsilon>0,\exists N[x>N\rarr\|f(x)-L\|<\epsilon]$ 负无穷处的极限也是照葫芦画瓢。

例子

证明$\lim_{x\to\infin}\sin(x)$不存在。

我们先假设极限存在且为L。那么不妨选取ε=1/2（当然，任何比较小的数都是可以的），即当自变量的值足够大时，函数值应该在[L-1/2，L+1/2]附近震荡。显然这是不可能的。

我们只需要选取大于N的$\pi$的倍数，然后检查它后面的值域大小至少为2，已经和前面矛盾。

同样地，我们还能证明$\lim_{x\to0^+}sin(\frac{1}{x})$不存在。技巧来自于换元法，把上面的极限中的x换成$\frac{1}{u}$，代入得当1/u趋于正无穷时，其sin值没有极限。什么时候1/u趋于正无穷？当然是u从x的正半轴逼近0的时候！

四、连续与极限

一个函数在x=a处连续的定义，就是$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，可以很直观的理解为“下一步马上就要到哪里，就必须到哪里”，如果不这样的话，函数值就会出现跳跃，肯定就不是连续的了。

两个连续函数加减乘除运算之后的函数，仍然是连续函数。我们可以用刚刚证明的极限的四则运算法则来说明这一点，就不再此处花笔墨详细阐述了。当然，要排除一些分母为零的情况。

连续函数的复合

一个比较难的证明就是连续函数的复合函数仍然是连续的。换句话说，要证明$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(g(a))$。

我们已经知道g在x=a处连续，f在g(a)处连续，那么为了能够把它合起来？而这次需要用两次极限的定义！

我们的条件是$\lim_{y\to g(a)}f(y)=f(g(a))$和$lim_{x\to a}g(x)=g(a)$。

先看第一个条件。不妨设L=f(g(a))，任选一个容忍度ε，总能够找到一个λ，使得在(g(x)-λ，g(x)+λ)区间内f函数值落在(L-ε，L+ε)上。同样，对于这个λ，我们又能够找到一个δ，使得(a-δ，a+δ)内的g函数值落在(g(x)-λ，g(x)+λ)区间内，因此，可以得出结论，对于每一个ε，对应的δ总是存在。

然后想一想刚才推出的东西代表的是什么极限。

f(g(x))的值想离f(g(a))无限近。没问题，存在x满足这个条件。

只要$|x-a|<\delta$，就有$|g(x)-g(a)|<\lambda$，

不就是$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(g(a))$吗？

有关无穷的情况

还有一个有关的式子就是$\lim_{x\to \infin}f(g(x))=f(\lim_{x\to \infin}g(x))$。如何证明呢？

我们已经知道$\lim_{x\to \infin}g(x)=L$和$\lim_{x\to L}f(x)=f(L)$。

对于任何的容忍度ε，都能找到对应的λ使得(L-λ，L+λ)区间内的f函数值都落在(f(L)-ε，f(L)+ε)区间内；

对于任何的λ，都存在一个值N，使得在x>N时，g(x)函数值到L的距离都小于λ。

只要x>N，就有$|g(x)-L|<\lambda$；

只要$|g(x)-L|<\lambda$，就有$|f(g(x))-f(L)|<\epsilon$。

即f(g(x))和无限接近f(L)。

想一想这是什么意思！！L就是g(x)的极限值，这就是原命题！

负无穷的情况同理。

例子

现在思考$\lim_{x\to \infin}\sin(\frac{1}{x})$的值。

它等于$\sin(\lim_{x\to \infin}\frac{1}{x})=\sin(0)=0$。